Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(-{44}^2-4*4*-12\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(1936-4*4*-12\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(1936-16*-12\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(1936--192\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(1936+192\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(2128\right)\right)/\left(2*4\right)$$

$$k=\left(-1*-44\pm sqrt\left(2128\right)\right)/\left(8\right)$$

$$k=\left(44\pm sqrt\left(2128\right)\right)/8$$

para obter o resultado:

$$k=\left(44\pm sqrt\left(2128\right)\right)/8$$

Simplificar $$2128$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$2128$$ é $$2^4\cdot 7\cdot 19$$

$$k=\left(44\pm 4*sqrt\left(133\right)\right)/8$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(44+4*sqrt\left(133\right)\right)/8$$ e $$k_2=\left(44-4*sqrt\left(133\right)\right)/8$$

$$k_1=\left(44+4*sqrt\left(133\right)\right)/8$$

$$k_1=\left(44+4*sqrt\left(133\right)\right)/8$$

$$k_1=\left(44+4*11,533\right)/8$$

$$k_1=\left(44+4*11,533\right)/8$$

$$k_1=\left(44+46,13\right)/8$$

$$k_1=\left(44+46,13\right)/8$$

$$k_1=\left(90,13\right)/8$$

$$k_1=90,\frac{13}{8}$$

$$k_1=11,266$$

$$k_2=\left(44-4*sqrt\left(133\right)\right)/8$$

$$k_2=\left(44-4*11,533\right)/8$$

$$k_2=\left(44-4*11,533\right)/8$$

$$k_2=\left(44-46,13\right)/8$$

$$k_2=\left(44-46,13\right)/8$$

$$k_2=\left(-2,13\right)/8$$

$$k_2=-2,\frac{13}{8}$$

$$k_2=-0,266$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,266, 11,266.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=4), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$4k^2-44k-12<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$