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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

y \in (- \infty, \infty)

y∈(-∞,∞)

Solução:

y_{1} = \frac{10}{49} + \frac{2}{49} i \cdot \sqrt{955}, y_{2} = \frac{10}{49} + \frac{- 2}{49} i \cdot \sqrt{955}

y_{1}=\frac{10}{49}+\frac{2}{49}i\cdot\sqrt{955} , y_{2}=\frac{10}{49}+\frac{-2}{49}i\cdot\sqrt{955}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $49 y^{2} - 20 y + 80 \geq 0$ , são:

$a$ = 49

$b$ = -20

$c$ = 80

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a y^{2} + b y + c \geq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 49$
$b = - 20$
$c = 80$

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (- 20^{2} - 4 * 49 * 80)) / (2 * 49)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (400 - 4 * 49 * 80)) / (2 * 49)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (400 - 196 * 80)) / (2 * 49)$

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (400 - 15680)) / (2 * 49)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (- 15280)) / (2 * 49)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 1 * - 20 \pm s q r t (- 15280)) / (98)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (20 \pm s q r t (- 15280)) / 98$

para obter o resultado:

$y = (20 \pm s q r t (- 15280)) / 98$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 15280)}$

Simplificar $- 15280$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 15280$ é $4 i \cdot \sqrt{955}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 15280} = \sqrt{(- 1) \cdot 15280}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 15280} = i \sqrt{15280}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{15280} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 191}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 191} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5 \cdot 191}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5 \cdot 191} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191} = 4 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$4 i \cdot \sqrt{5 \cdot 191} = 4 i \cdot \sqrt{955}$

4. Resolver a equação para y

$y = (20 \pm 4 i * s q r t (955)) / 98$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $y_{1} = (20 + 4 i * s q r t (955)) / 98$ e $y_{2} = (20 - 4 i * s q r t (955)) / 98$

3 passos adicionais

$y_{1} = \frac{(20 + 4 i \cdot \sqrt{955})}{98}$

Quebrar a fração:

$y_{1} = \frac{20}{98} + \frac{4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$y_{1} = \frac{(10 \cdot 2)}{(49 \cdot 2)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$y_{1} = \frac{10}{49} + \frac{4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Simplificar a fração:

$y_{1} = \frac{10}{49} + \frac{2}{49} i \cdot \sqrt{955}$

3 passos adicionais

$y_{2} = \frac{(20 - 4 i \cdot \sqrt{955})}{98}$

Quebrar a fração:

$y_{2} = \frac{20}{98} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$y_{2} = \frac{(10 \cdot 2)}{(49 \cdot 2)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$y_{2} = \frac{10}{49} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{955}}{98}$

Simplificar a fração:

$y_{2} = \frac{10}{49} + \frac{- 2}{49} i \cdot \sqrt{955}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−15280)

4. Resolver a equação para y

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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