Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{y}^2+by+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(-2^2-4*3*-8\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4-4*3*-8\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4-12*-8\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4--96\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4+96\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(100\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-2\pm sqrt\left(100\right)\right)/\left(6\right)$$

$$y=\left(2\pm sqrt\left(100\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$y=\left(2\pm sqrt\left(100\right)\right)/6$$

Simplificar $$100$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$100$$ é $$2^2\cdot 5^2$$

$$y=\left(2\pm 10\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$y_1=\left(2+10\right)/6$$ e $$y_2=\left(2-10\right)/6$$

$$y_1=\left(2+10\right)/6$$

$$y_1=\left(2+10\right)/6$$

$$y_1=\left(12\right)/6$$

$$y_1=\frac{12}{6}$$

$$y_1=2$$

$$y_2=\left(2-10\right)/6$$

$$y_2=\left(2-10\right)/6$$

$$y_2=\left(-8\right)/6$$

$$y_2=-\frac{8}{6}$$

$$y_2=-1,333$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,333, 2.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3y^2-2y-8<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$