Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{y}^2+by+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-1*-20\pm sqrt\left(-{20}^2-4*3*16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-20\pm sqrt\left(400-4*3*16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-20\pm sqrt\left(400-12*16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-20\pm sqrt\left(400-192\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-20\pm sqrt\left(208\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$y=\left(-1*-20\pm sqrt\left(208\right)\right)/\left(6\right)$$

$$y=\left(20\pm sqrt\left(208\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$y=\left(20\pm sqrt\left(208\right)\right)/6$$

Simplificar $$208$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$208$$ é $$2^4\cdot 13$$

$$y=\left(20\pm 4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$y_1=\left(20+4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$ e $$y_2=\left(20-4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$y_1=\left(20+4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$y_1=\left(20+4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$y_1=\left(20+4*3,606\right)/6$$

$$y_1=\left(20+4*3,606\right)/6$$

$$y_1=\left(20+14,422\right)/6$$

$$y_1=\left(20+14,422\right)/6$$

$$y_1=\left(34,422\right)/6$$

$$y_1=34,\frac{422}{6}$$

$$y_1=5,737$$

$$y_2=\left(20-4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$y_2=\left(20-4*sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$y_2=\left(20-4*3,606\right)/6$$

$$y_2=\left(20-4*3,606\right)/6$$

$$y_2=\left(20-14,422\right)/6$$

$$y_2=\left(20-14,422\right)/6$$

$$y_2=\left(5,578\right)/6$$

$$y_2=5,\frac{578}{6}$$

$$y_2=0,93$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,93, 5,737.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3y^2-20y+16\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$