Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(-9^2-4*3*-7\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(81-4*3*-7\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(81-12*-7\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(81--84\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(81+84\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(165\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-9\pm sqrt\left(165\right)\right)/\left(6\right)$$

$$x=\left(9\pm sqrt\left(165\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$x=\left(9\pm sqrt\left(165\right)\right)/6$$

Simplificar $$165$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$165$$ é $$3\cdot 5\cdot 11$$

$$x=\left(9\pm sqrt\left(165\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(9+sqrt\left(165\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(9-sqrt\left(165\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(9+sqrt\left(165\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(9+sqrt\left(165\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(9+12,845\right)/6$$

$$x_1=\left(9+12,845\right)/6$$

$$x_1=\left(21,845\right)/6$$

$$x_1=21,\frac{845}{6}$$

$$x_1=3,641$$

$$x_2=\left(9-sqrt\left(165\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(9-12,845\right)/6$$

$$x_2=\left(9-12,845\right)/6$$

$$x_2=\left(-3,845\right)/6$$

$$x_2=-3,\frac{845}{6}$$

$$x_2=-0,641$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,641, 3,641.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2-9x-7<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$