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Introduzir uma equação ou problema

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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = 2 + i, x_{2} = 2 - i

x_{1}=2+i , x_{2}=2-i

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

9 passos adicionais

$3 x^{2} - 8 x + 11 > = 4 \cdot (x - 1)$

Expandir os parêntesis:

$3 x^{2} - 8 x + 11 > = 4 x + 4 \cdot - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 8 x + 11 > = 4 x - 4$

Subtrair 11 de ambos os lados:

$(3 x^{2} - 8 x + 11) - 4 x > = (4 x - 4) - 4 x$

Agrupar termos semelhantes:

$3 x^{2} + (- 8 x - 4 x) + 11 > = (4 x - 4) - 4 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 12 x + 11 > = (4 x - 4) - 4 x$

Agrupar termos semelhantes:

$3 x^{2} - 12 x + 11 > = (4 x - 4 x) - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 12 x + 11 > = - 4$

Subtrair 11 de ambos os lados:

$(3 x^{2} - 12 x + 11) - 11 > = - 4 - 11$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 12 x > = - 4 - 11$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 12 x > = - 15$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c \geq 0$

Adicionar $- 15$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} - 12 x \geq - 15$

Adicionar $- 15$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} - 12 x + 15 \geq - 15 + 15$

Simplificar a expressão

$3 x^{2} - 12 x + 15 \geq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 x^{2} - 12 x + 15 \geq 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = -12

$c$ = 15

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = - 12$
$c = 15$

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 12^{2} - 4 * 3 * 15)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 4 * 3 * 15)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 12 * 15)) / (2 * 3)$

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 180)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 36)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 36)) / (6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (12 \pm s q r t (- 36)) / 6$

para obter o resultado:

$x = (12 \pm s q r t (- 36)) / 6$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 36)}$

Simplificar $- 36$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 36$ é $6 i$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 36} = \sqrt{(- 1) \cdot 36}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 36} = i \sqrt{36}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{36} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 3 i$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 3 i = 6 i$

5. Resolver a equação para x

$x = (12 \pm 6 i) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (12 + 6 i) / 6$ e $x_{2} = (12 - 6 i) / 6$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(12 + 6 i)}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{12}{6} + \frac{6 i}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(2 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{6 i}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = 2 + \frac{6 i}{6}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = 2 + i$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(12 - 6 i)}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{12}{6} + \frac{- 6 i}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(2 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{- 6 i}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = 2 + \frac{- 6 i}{6}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = 2 - i$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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