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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{17}, x_{2} = \frac{4}{3} + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{17}

x_{1}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}i\cdot\sqrt{17} , x_{2}=\frac{4}{3}+\frac{-1}{3}i\cdot\sqrt{17}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 x^{2} - 8 x + 11 < 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = -8

$c$ = 11

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = - 8$
$c = 11$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * 3 * 11)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * 3 * 11)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 12 * 11)) / (2 * 3)$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 132)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 68)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 68)) / (6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (8 \pm s q r t (- 68)) / 6$

para obter o resultado:

$x = (8 \pm s q r t (- 68)) / 6$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 68)}$

Simplificar $- 68$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 68$ é $2 i \cdot \sqrt{17}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 68} = \sqrt{(- 1) \cdot 68}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 68} = i \sqrt{68}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{68} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 17}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 17} = i \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 17} = 2 i \cdot \sqrt{17}$

4. Resolver a equação para x

$x = (8 \pm 2 i * s q r t (17)) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (8 + 2 i * s q r t (17)) / 6$ e $x_{2} = (8 - 2 i * s q r t (17)) / 6$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(8 + 2 i \cdot \sqrt{17})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{8}{6} + \frac{2 i \cdot \sqrt{17}}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(4 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{17}}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = \frac{4}{3} + \frac{2 i \cdot \sqrt{17}}{6}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{17}$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(8 - 2 i \cdot \sqrt{17})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{8}{6} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{17}}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(4 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{17}}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = \frac{4}{3} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{17}}{6}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = \frac{4}{3} + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{17}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−68)

4. Resolver a equação para x

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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