Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(-7^2-4*3*-40\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-4*3*-40\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-12*-40\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49--480\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49+480\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(6\right)$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(529\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$x=\left(7\pm sqrt\left(529\right)\right)/6$$

Simplificar $$529$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$529$$ é $${23}^2$$

$$x=\left(7\pm 23\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(7+23\right)/6$$ e $$x_2=\left(7-23\right)/6$$

$$x_1=\left(7+23\right)/6$$

$$x_1=\left(7+23\right)/6$$

$$x_1=\left(30\right)/6$$

$$x_1=\frac{30}{6}$$

$$x_1=5$$

$$x_2=\left(7-23\right)/6$$

$$x_2=\left(7-23\right)/6$$

$$x_2=\left(-16\right)/6$$

$$x_2=-\frac{16}{6}$$

$$x_2=-2,667$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,667, 5.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2-7x-40\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$