Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(-5^2-4*3*-5\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-4*3*-5\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-12*-5\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25--60\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25+60\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(85\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(85\right)\right)/\left(6\right)$$

$$x=\left(5\pm sqrt\left(85\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$x=\left(5\pm sqrt\left(85\right)\right)/6$$

Simplificar $$85$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$85$$ é $$5\cdot 17$$

$$x=\left(5\pm sqrt\left(85\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(5+sqrt\left(85\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(5-sqrt\left(85\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(5+sqrt\left(85\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(5+sqrt\left(85\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(5+9,22\right)/6$$

$$x_1=\left(5+9,22\right)/6$$

$$x_1=\left(14,22\right)/6$$

$$x_1=14,\frac{22}{6}$$

$$x_1=2,37$$

$$x_2=\left(5-sqrt\left(85\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(5-9,22\right)/6$$

$$x_2=\left(5-9,22\right)/6$$

$$x_2=\left(-4,22\right)/6$$

$$x_2=-4,\frac{22}{6}$$

$$x_2=-0,703$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,703, 2,37.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2-5x-5\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$