Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

2 < x < 3

2<x<3

Notação de intervalo:

x \in (2; 3)

x∈(2;3)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

6 passos adicionais

$3 x^{2} - (5 \cdot (3 x - 6)) < 12$

Expandir os parêntesis:

$3 x^{2} - (5 \cdot 3 x + 5 \cdot - 6) < 12$

Multiplicar coeficientes:

$3 x^{2} - (15 x + 5 \cdot - 6) < 12$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - (15 x - 30) < 12$

Expandir os parêntesis:

$3 x^{2} - 15 x + 30 < 12$

Subtrair 30 de ambos os lados:

$(3 x^{2} - 15 x + 30) - 30 < 12 - 30$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 15 x < 12 - 30$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 15 x < - 18$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 18$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} - 15 x < - 18$

Adicionar $- 18$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} - 15 x + 18 < - 18 + 18$

Simplificar a expressão

$3 x^{2} - 15 x + 18 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 x^{2} - 15 x + 18 < 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = -15

$c$ = 18

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = - 15$
$c = 18$

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (- 15^{2} - 4 * 3 * 18)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 - 4 * 3 * 18)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 - 12 * 18)) / (2 * 3)$

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 - 216)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (9)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (9)) / (6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (15 \pm s q r t (9)) / 6$

para obter o resultado:

$x = (15 \pm s q r t (9)) / 6$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(9)}$

Simplificar $9$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>9</math>:

A fatoração prima de $9$ é $3^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{9} = \sqrt{3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{3^{2}} = 3$

5. Resolver a equação para x

$x = (15 \pm 3) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (15 + 3) / 6$ e $x_{2} = (15 - 3) / 6$

$x_{1} = (15 + 3) / 6$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (15 + 3) / 6$

$x_{1} = (18) / 6$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{18}{6}$

$x_{1} = 3$

$x_{2} = (15 - 3) / 6$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (15 - 3) / 6$

$x_{2} = (12) / 6$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = \frac{12}{6}$

$x_{2} = 2$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 2, 3.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $3 x^{2} - 15 x + 18 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (9)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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