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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

-

%

1

2

3

+

<

>

0

,

.

=

abc

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 0, 637 < x < 3, 137

-0,637<x<3,137

Notação de intervalo:

x \in (- 0.637; 3.137)

x∈(-0.637;3.137)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$3 x^{2} - 4 x + 2 < x^{2} + x + 6$

Subtrair 2 de ambos os lados:

$(3 x^{2} - 4 x + 2) - x < (x^{2} + x + 6) - x$

Agrupar termos semelhantes:

$3 x^{2} + (- 4 x - x) + 2 < (x^{2} + x + 6) - x$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 5 x + 2 < (x^{2} + x + 6) - x$

Agrupar termos semelhantes:

$3 x^{2} - 5 x + 2 < x^{2} + (x - x) + 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} - 5 x + 2 < x^{2} + 6$

Subtrair 2 de ambos os lados:

$(3 x^{2} - 5 x + 2) - x^{2} < (x^{2} + 6) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(3 x^{2} - x^{2}) - 5 x + 2 < (x^{2} + 6) - x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 5 x + 2 < (x^{2} + 6) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} - 5 x + 2 < (x^{2} - x^{2}) + 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 5 x + 2 < 6$

Subtrair 2 de ambos os lados:

$(2 x^{2} - 5 x + 2) - 2 < 6 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 5 x < 6 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} - 5 x < 4$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $4$ de ambos os lados da desigualdade:

$2 x^{2} - 5 x < 4$

Subtrair $4$ de ambos os lados:

$2 x^{2} - 5 x - 4 < 4 - 4$

Simplificar a expressão

$2 x^{2} - 5 x - 4 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 x^{2} - 5 x - 4 < 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = -5

$c$ = -4

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = - 5$
$c = - 4$

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (- 5^{2} - 4 * 2 * - 4)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (25 - 4 * 2 * - 4)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (25 - 8 * - 4)) / (2 * 2)$

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (25 - - 32)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (25 + 32)) / (2 * 2)$

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (57)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 5 \pm s q r t (57)) / (4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (5 \pm s q r t (57)) / 4$

para obter o resultado:

$x = (5 \pm s q r t (57)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(57)}$

Simplificar $57$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>57</math>:

A fatoração prima de $57$ é $3 \cdot 19$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{57} = \sqrt{3 \cdot 19}$

$\sqrt{3 \cdot 19} = \sqrt{57}$

5. Resolver a equação para x

$x = (5 \pm s q r t (57)) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (5 + s q r t (57)) / 4$ e $x_{2} = (5 - s q r t (57)) / 4$

$x_{1} = (5 + s q r t (57)) / 4$

Começamos por calcular a expressão entre parêntesis.

$x_{1} = (5 + s q r t (57)) / 4$

$x_{1} = (5 + 7, 55) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (5 + 7, 55) / 4$

$x_{1} = (12, 55) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = 12, \frac{55}{4}$

$x_{1} = 3, 137$

$x_{2} = (5 - s q r t (57)) / 4$

$x_{2} = (5 - 7, 55) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (5 - 7, 55) / 4$

$x_{2} = (- 2, 55) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - 2, \frac{55}{4}$

$x_{2} = - 0, 637$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,637, 3,137.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $2 x^{2} - 5 x - 4 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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