Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(-1^2-4*3*-1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(1-4*3*-1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(1-12*-1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(1--12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(1+12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(13\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-1\pm sqrt\left(13\right)\right)/\left(6\right)$$

$$x=\left(1\pm sqrt\left(13\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$x=\left(1\pm sqrt\left(13\right)\right)/6$$

Simplificar $$13$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$13$$ é $$13$$

$$x=\left(1\pm sqrt\left(13\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(1+sqrt\left(13\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(1-sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(1+sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(1+sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(1+3,606\right)/6$$

$$x_1=\left(1+3,606\right)/6$$

$$x_1=\left(4,606\right)/6$$

$$x_1=4,\frac{606}{6}$$

$$x_1=0,768$$

$$x_2=\left(1-sqrt\left(13\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(1-3,606\right)/6$$

$$x_2=\left(1-3,606\right)/6$$

$$x_2=\left(-2,606\right)/6$$

$$x_2=-2,\frac{606}{6}$$

$$x_2=-0,434$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,434, 0,768.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2-1x-1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$