Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(-{14}^2-4*3*-11\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196-4*3*-11\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196-12*-11\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196--132\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196+132\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(328\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(328\right)\right)/\left(6\right)$$

$$x=\left(14\pm sqrt\left(328\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$x=\left(14\pm sqrt\left(328\right)\right)/6$$

Simplificar $$328$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$328$$ é $$2^3\cdot 41$$

$$x=\left(14\pm 2*sqrt\left(82\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(14+2*sqrt\left(82\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(14-2*sqrt\left(82\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(14+2*sqrt\left(82\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(14+2*sqrt\left(82\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(14+2*9,055\right)/6$$

$$x_1=\left(14+2*9,055\right)/6$$

$$x_1=\left(14+18,111\right)/6$$

$$x_1=\left(14+18,111\right)/6$$

$$x_1=\left(32,111\right)/6$$

$$x_1=32,\frac{111}{6}$$

$$x_1=5,352$$

$$x_2=\left(14-2*sqrt\left(82\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(14-2*9,055\right)/6$$

$$x_2=\left(14-2*9,055\right)/6$$

$$x_2=\left(14-18,111\right)/6$$

$$x_2=\left(14-18,111\right)/6$$

$$x_2=\left(-4,111\right)/6$$

$$x_2=-4,\frac{111}{6}$$

$$x_2=-0,685$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,685, 5,352.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2-14x-11\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$