Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$3x^2+6x+1<0$$, são:

$$a$$ = 3

$$b$$ = 6

$$c$$ = 1

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(6^2-4*3*1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-4*3*1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-12*1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(6\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(24\right)\right)/6$$

Simplificar $$24$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$24$$ é $$2^3\cdot 3$$

$$x=\left(-6\pm 2*sqrt\left(6\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(6\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(-6-2*sqrt\left(6\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(6\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-6+2*2,449\right)/6$$

$$x_1=\left(-6+2*2,449\right)/6$$

$$x_1=\left(-6+4,899\right)/6$$

$$x_1=\left(-6+4,899\right)/6$$

$$x_1=\left(-1,101\right)/6$$

$$x_1=-1,\frac{101}{6}$$

$$x_1=-0,184$$

$$x_2=\left(-6-2*sqrt\left(6\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(-6-2*2,449\right)/6$$

$$x_2=\left(-6-2*2,449\right)/6$$

$$x_2=\left(-6-4,899\right)/6$$

$$x_2=\left(-6-4,899\right)/6$$

$$x_2=\left(-10,899\right)/6$$

$$x_2=-10,\frac{899}{6}$$

$$x_2=-1,816$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,816, -0,184.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2+6x+1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$