Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*3*1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*3*1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16-12*1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16-12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(4\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(4\right)\right)/\left(6\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(4\right)\right)/6$$

Simplificar $$4$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$4$$ é $$2^2$$

$$x=\left(-4\pm 2\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-4+2\right)/6$$ e $$x_2=\left(-4-2\right)/6$$

$$x_1=\left(-4+2\right)/6$$

$$x_1=\left(-4+2\right)/6$$

$$x_1=\left(-2\right)/6$$

$$x_1=-\frac{2}{6}$$

$$x_1=-0,333$$

$$x_2=\left(-4-2\right)/6$$

$$x_2=\left(-4-2\right)/6$$

$$x_2=\left(-6\right)/6$$

$$x_2=-\frac{6}{6}$$

$$x_2=-1$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1, -0.333.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2+4x+1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$