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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{6}, x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}

x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{6} , x_{2}=\frac{-1}{2}+\frac{-i\sqrt{3}}{6}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 1$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} + 3 x > - 1$

Adicionar $- 1$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} + 3 x + 1 > - 1 + 1$

Simplificar a expressão

$3 x^{2} + 3 x + 1 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 x^{2} + 3 x + 1 > 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = 3

$c$ = 1

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = 3$
$c = 1$

$x = (- 3 \pm s q r t (3^{2} - 4 * 3 * 1)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 3 \pm s q r t (9 - 4 * 3 * 1)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 3 \pm s q r t (9 - 12 * 1)) / (2 * 3)$

$x = (- 3 \pm s q r t (9 - 12)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 3 \pm s q r t (- 3)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 3 \pm s q r t (- 3)) / (6)$

para obter o resultado:

$x = (- 3 \pm s q r t (- 3)) / 6$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 3)}$

Simplificar $- 3$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 3$ é $i \sqrt{3}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 3} = \sqrt{(- 1) \cdot 3}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 3} = i \sqrt{3}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{3} = i \sqrt{3}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 3 \pm i s q r t (3)) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 3 + i s q r t (3)) / 6$ e $x_{2} = (- 3 - i s q r t (3)) / 6$

2 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 3 + i \sqrt{3})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{- 3}{6} + \frac{i \sqrt{3}}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{i \sqrt{3}}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = \frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{6}$

2 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 3 - i \sqrt{3})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{- 3}{6} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{- i \sqrt{3}}{6}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas