Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(2^2-4*3*-16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*3*-16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-12*-16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--192\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4+192\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(196\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(196\right)\right)/\left(6\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(196\right)\right)/6$$

Simplificar $$196$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$196$$ é $$2^2\cdot 7^2$$

$$x=\left(-2\pm 14\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2+14\right)/6$$ e $$x_2=\left(-2-14\right)/6$$

$$x_1=\left(-2+14\right)/6$$

$$x_1=\left(-2+14\right)/6$$

$$x_1=\left(12\right)/6$$

$$x_1=\frac{12}{6}$$

$$x_1=2$$

$$x_2=\left(-2-14\right)/6$$

$$x_2=\left(-2-14\right)/6$$

$$x_2=\left(-16\right)/6$$

$$x_2=-\frac{16}{6}$$

$$x_2=-2,667$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,667, 2.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2+2x-16\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$