Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left({210}^2-4*3*-6000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-4*3*-6000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-12*-6000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100--72000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100+72000\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(116100\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(116100\right)\right)/\left(6\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(116100\right)\right)/6$$

Simplificar $$116100$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$116100$$ é $$2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 43$$

$$x=\left(-210\pm 30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-210+30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(-210-30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*11,358\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+30*11,358\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+340,735\right)/6$$

$$x_1=\left(-210+340,735\right)/6$$

$$x_1=\left(130,735\right)/6$$

$$x_1=130,\frac{735}{6}$$

$$x_1=21,789$$

$$x_2=\left(-210-30*sqrt\left(129\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-30*11,358\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-30*11,358\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-340,735\right)/6$$

$$x_2=\left(-210-340,735\right)/6$$

$$x_2=\left(-550,735\right)/6$$

$$x_2=-550,\frac{735}{6}$$

$$x_2=-91,789$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -91,789, 21,789.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2+210x-6000\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$