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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 2 < t < 4

-2<t<4

Notação de intervalo:

t \in (- 2; 4)

t∈(-2;4)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 t^{2} - 6 t - 24 < 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = -6

$c$ = -24

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a t^{2} + b t + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$t = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = - 6$
$c = - 24$

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (- 6^{2} - 4 * 3 * - 24)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (36 - 4 * 3 * - 24)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (36 - 12 * - 24)) / (2 * 3)$

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (36 - - 288)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (36 + 288)) / (2 * 3)$

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (324)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t = (- 1 * - 6 \pm s q r t (324)) / (6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t = (6 \pm s q r t (324)) / 6$

para obter o resultado:

$t = (6 \pm s q r t (324)) / 6$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(324)}$

Simplificar $324$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>324</math>:

A fatoração prima de $324$ é $2^{2} \cdot 3^{4}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{324} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 3 \cdot 3$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 3 \cdot 3 = 6 \cdot 3$

$6 \cdot 3 = 18$

4. Resolver a equação para t

$t = (6 \pm 18) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $t_{1} = (6 + 18) / 6$ e $t_{2} = (6 - 18) / 6$

$t_{1} = (6 + 18) / 6$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$t_{1} = (6 + 18) / 6$

$t_{1} = (24) / 6$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t_{1} = \frac{24}{6}$

$t_{1} = 4$

$t_{2} = (6 - 18) / 6$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$t_{2} = (6 - 18) / 6$

$t_{2} = (- 12) / 6$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t_{2} = - \frac{12}{6}$

$t_{2} = - 2$

5. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2, 4.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $3 t^{2} - 6 t - 24 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (324)

4. Resolver a equação para t

5. Encontrar os intervalos

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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