Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(-4^2-4*3*-1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*3*-1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-12*-1\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16--12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16+12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-4\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(6\right)$$

$$t=\left(4\pm sqrt\left(28\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$t=\left(4\pm sqrt\left(28\right)\right)/6$$

Simplificar $$28$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$28$$ é $$2^2\cdot 7$$

$$t=\left(4\pm 2*sqrt\left(7\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(4+2*sqrt\left(7\right)\right)/6$$ e $$t_2=\left(4-2*sqrt\left(7\right)\right)/6$$

$$t_1=\left(4+2*sqrt\left(7\right)\right)/6$$

$$t_1=\left(4+2*sqrt\left(7\right)\right)/6$$

$$t_1=\left(4+2*2,646\right)/6$$

$$t_1=\left(4+2*2,646\right)/6$$

$$t_1=\left(4+5,292\right)/6$$

$$t_1=\left(4+5,292\right)/6$$

$$t_1=\left(9,292\right)/6$$

$$t_1=9,\frac{292}{6}$$

$$t_1=1,549$$

$$t_2=\left(4-2*sqrt\left(7\right)\right)/6$$

$$t_2=\left(4-2*2,646\right)/6$$

$$t_2=\left(4-2*2,646\right)/6$$

$$t_2=\left(4-5,292\right)/6$$

$$t_2=\left(4-5,292\right)/6$$

$$t_2=\left(-1,292\right)/6$$

$$t_2=-1,\frac{292}{6}$$

$$t_2=-0,215$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,215, 1,549.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3t^2-4t-1\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$