Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(-{12}^2-4*3*-12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-4*3*-12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-12*-12\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144--144\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144+144\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/\left(6\right)$$

$$t=\left(12\pm sqrt\left(288\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$t=\left(12\pm sqrt\left(288\right)\right)/6$$

Simplificar $$288$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$288$$ é $$2^5\cdot 3^2$$

$$t=\left(12\pm 12*sqrt\left(2\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(12+12*sqrt\left(2\right)\right)/6$$ e $$t_2=\left(12-12*sqrt\left(2\right)\right)/6$$

$$t_1=\left(12+12*sqrt\left(2\right)\right)/6$$

$$t_1=\left(12+12*sqrt\left(2\right)\right)/6$$

$$t_1=\left(12+12*1,414\right)/6$$

$$t_1=\left(12+12*1,414\right)/6$$

$$t_1=\left(12+16,971\right)/6$$

$$t_1=\left(12+16,971\right)/6$$

$$t_1=\left(28,971\right)/6$$

$$t_1=28,\frac{971}{6}$$

$$t_1=4,828$$

$$t_2=\left(12-12*sqrt\left(2\right)\right)/6$$

$$t_2=\left(12-12*1,414\right)/6$$

$$t_2=\left(12-12*1,414\right)/6$$

$$t_2=\left(12-16,971\right)/6$$

$$t_2=\left(12-16,971\right)/6$$

$$t_2=\left(-4,971\right)/6$$

$$t_2=-4,\frac{971}{6}$$

$$t_2=-0,828$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,828, 4,828.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3t^2-12t-12>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$