Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$3t^2-12t+9>0$$, são:

$$a$$ = 3

$$b$$ = -12

$$c$$ = 9

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(-{12}^2-4*3*9\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-4*3*9\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-12*9\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(144-108\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(36\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$t=\left(-1*-12\pm sqrt\left(36\right)\right)/\left(6\right)$$

$$t=\left(12\pm sqrt\left(36\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$t=\left(12\pm sqrt\left(36\right)\right)/6$$

Simplificar $$36$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$36$$ é $$2^2\cdot 3^2$$

$$t=\left(12\pm 6\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(12+6\right)/6$$ e $$t_2=\left(12-6\right)/6$$

$$t_1=\left(12+6\right)/6$$

$$t_1=\left(12+6\right)/6$$

$$t_1=\left(18\right)/6$$

$$t_1=\frac{18}{6}$$

$$t_1=3$$

$$t_2=\left(12-6\right)/6$$

$$t_2=\left(12-6\right)/6$$

$$t_2=\left(6\right)/6$$

$$t_2=\frac{6}{6}$$

$$t_2=1$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1, 3.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3t^2-12t+9>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$