Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{n}^2+bn+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$n=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*3*-10\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*3*-10\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(16-12*-10\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(16--120\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(16+120\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(136\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(136\right)\right)/\left(6\right)$$

para obter o resultado:

$$n=\left(-4\pm sqrt\left(136\right)\right)/6$$

Simplificar $$136$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$136$$ é $$2^3\cdot 17$$

$$n=\left(-4\pm 2*sqrt\left(34\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$n_1=\left(-4+2*sqrt\left(34\right)\right)/6$$ e $$n_2=\left(-4-2*sqrt\left(34\right)\right)/6$$

$$n_1=\left(-4+2*sqrt\left(34\right)\right)/6$$

$$n_1=\left(-4+2*sqrt\left(34\right)\right)/6$$

$$n_1=\left(-4+2*5,831\right)/6$$

$$n_1=\left(-4+2*5,831\right)/6$$

$$n_1=\left(-4+11,662\right)/6$$

$$n_1=\left(-4+11,662\right)/6$$

$$n_1=\left(7,662\right)/6$$

$$n_1=7,\frac{662}{6}$$

$$n_1=1,277$$

$$n_2=\left(-4-2*sqrt\left(34\right)\right)/6$$

$$n_2=\left(-4-2*5,831\right)/6$$

$$n_2=\left(-4-2*5,831\right)/6$$

$$n_2=\left(-4-11,662\right)/6$$

$$n_2=\left(-4-11,662\right)/6$$

$$n_2=\left(-15,662\right)/6$$

$$n_2=-15,\frac{662}{6}$$

$$n_2=-2,61$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,61, 1,277.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3n^2+4n-10>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$