Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(8^2-4*3*4\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(64-4*3*4\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(64-12*4\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(64-48\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(16\right)\right)/\left(6\right)$$

para obter o resultado:

$$k=\left(-8\pm sqrt\left(16\right)\right)/6$$

Simplificar $$16$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$16$$ é $$2^4$$

$$k=\left(-8\pm 4\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(-8+4\right)/6$$ e $$k_2=\left(-8-4\right)/6$$

$$k_1=\left(-8+4\right)/6$$

$$k_1=\left(-8+4\right)/6$$

$$k_1=\left(-4\right)/6$$

$$k_1=-\frac{4}{6}$$

$$k_1=-0,667$$

$$k_2=\left(-8-4\right)/6$$

$$k_2=\left(-8-4\right)/6$$

$$k_2=\left(-12\right)/6$$

$$k_2=-\frac{12}{6}$$

$$k_2=-2$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2, -0.667.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3k^2+8k+4\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$