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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

k \leq - 1, 111 or k \geq 2

k<=-1,111 or k>=2

Notação de intervalo:

k \in (- \infty, - 1, 111) ⋃ [2, \infty]

k∈(-∞,-1,111]⋃[2,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $36 k^{2} - 32 k - 80 \geq 0$ , são:

$a$ = 36

$b$ = -32

$c$ = -80

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c \geq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 36$
$b = - 32$
$c = - 80$

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (- 32^{2} - 4 * 36 * - 80)) / (2 * 36)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (1024 - 4 * 36 * - 80)) / (2 * 36)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (1024 - 144 * - 80)) / (2 * 36)$

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (1024 - - 11520)) / (2 * 36)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (1024 + 11520)) / (2 * 36)$

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (12544)) / (2 * 36)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 1 * - 32 \pm s q r t (12544)) / (72)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (32 \pm s q r t (12544)) / 72$

para obter o resultado:

$k = (32 \pm s q r t (12544)) / 72$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(12544)}$

Simplificar $12544$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>12544</math>:

A fatoração prima de $12544$ é $2^{8} \cdot 7^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{12544} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 8 \cdot 2 \cdot 7$

$8 \cdot 2 \cdot 7 = 16 \cdot 7$

$16 \cdot 7 = 112$

4. Resolver a equação para k

$k = (32 \pm 112) / 72$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (32 + 112) / 72$ e $k_{2} = (32 - 112) / 72$

$k_{1} = (32 + 112) / 72$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{1} = (32 + 112) / 72$

$k_{1} = (144) / 72$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = \frac{144}{72}$

$k_{1} = 2$

$k_{2} = (32 - 112) / 72$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{2} = (32 - 112) / 72$

$k_{2} = (- 80) / 72$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = - \frac{80}{72}$

$k_{2} = - 1, 111$

5. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,111, 2.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =36), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $36 k^{2} - 32 k - 80 \geq 0$ tem um sinal de desigualdade $\geq$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (12544)

4. Resolver a equação para k

5. Encontrar os intervalos

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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