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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

k \in (- \infty, \infty)

k∈(-∞,∞)

Solução:

k_{1} = \frac{- 1}{16} + \frac{1}{16} i \cdot \sqrt{7}, k_{2} = \frac{- 1}{16} + \frac{- 1}{16} i \cdot \sqrt{7}

k_{1}=\frac{-1}{16}+\frac{1}{16}i\cdot\sqrt{7} , k_{2}=\frac{-1}{16}+\frac{-1}{16}i\cdot\sqrt{7}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $32 k^{2} + 4 k + 1 < 0$ , são:

$a$ = 32

$b$ = 4

$c$ = 1

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 32$
$b = 4$
$c = 1$

$k = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * 32 * 1)) / (2 * 32)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * 32 * 1)) / (2 * 32)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 4 \pm s q r t (16 - 128 * 1)) / (2 * 32)$

$k = (- 4 \pm s q r t (16 - 128)) / (2 * 32)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 4 \pm s q r t (- 112)) / (2 * 32)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 4 \pm s q r t (- 112)) / (64)$

para obter o resultado:

$k = (- 4 \pm s q r t (- 112)) / 64$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 112)}$

Simplificar $- 112$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 112$ é $4 i \cdot \sqrt{7}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 112} = \sqrt{(- 1) \cdot 112}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 112} = i \sqrt{112}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{112} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7} = 4 i \cdot \sqrt{7}$

4. Resolver a equação para k

$k = (- 4 \pm 4 i * s q r t (7)) / 64$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (- 4 + 4 i * s q r t (7)) / 64$ e $k_{2} = (- 4 - 4 i * s q r t (7)) / 64$

3 passos adicionais

$k_{1} = \frac{(- 4 + 4 i \cdot \sqrt{7})}{64}$

Quebrar a fração:

$k_{1} = \frac{- 4}{64} + \frac{4 i \cdot \sqrt{7}}{64}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$k_{1} = \frac{(- 1 \cdot 4)}{(16 \cdot 4)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{7}}{64}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$k_{1} = \frac{- 1}{16} + \frac{4 i \cdot \sqrt{7}}{64}$

Simplificar a fração:

$k_{1} = \frac{- 1}{16} + \frac{1}{16} i \cdot \sqrt{7}$

3 passos adicionais

$k_{2} = \frac{(- 4 - 4 i \cdot \sqrt{7})}{64}$

Quebrar a fração:

$k_{2} = \frac{- 4}{64} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{7}}{64}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$k_{2} = \frac{(- 1 \cdot 4)}{(16 \cdot 4)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{7}}{64}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$k_{2} = \frac{- 1}{16} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{7}}{64}$

Simplificar a fração:

$k_{2} = \frac{- 1}{16} + \frac{- 1}{16} i \cdot \sqrt{7}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−112)

4. Resolver a equação para k

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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