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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

y \in (- \infty, \infty)

y∈(-∞,∞)

Solução:

y_{1} = 2 + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{14}, y_{2} = 2 + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{14}

y_{1}=2+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{14} , y_{2}=2+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{14}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a y^{2} + b y + c > 0$

Subtrair $1$ de ambos os lados da desigualdade:

$2 y^{2} - 8 y + 16 > 1$

Subtrair $1$ de ambos os lados:

$2 y^{2} - 8 y + 16 - 1 > 1 - 1$

Simplificar a expressão

$2 y^{2} - 8 y + 15 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 y^{2} - 8 y + 15 > 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = -8

$c$ = 15

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a y^{2} + b y + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = - 8$
$c = 15$

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * 2 * 15)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * 2 * 15)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 8 * 15)) / (2 * 2)$

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 120)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 56)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 56)) / (4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (8 \pm s q r t (- 56)) / 4$

para obter o resultado:

$y = (8 \pm s q r t (- 56)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 56)}$

Simplificar $- 56$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 56$ é $2 i \cdot \sqrt{14}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 56} = \sqrt{(- 1) \cdot 56}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 56} = i \sqrt{56}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{56} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 7}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 7} = 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 7}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 7} = 2 i \cdot \sqrt{14}$

5. Resolver a equação para y

$y = (8 \pm 2 i * s q r t (14)) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $y_{1} = (8 + 2 i * s q r t (14)) / 4$ e $y_{2} = (8 - 2 i * s q r t (14)) / 4$

3 passos adicionais

$y_{1} = \frac{(8 + 2 i \cdot \sqrt{14})}{4}$

Quebrar a fração:

$y_{1} = \frac{8}{4} + \frac{2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$y_{1} = \frac{(2 \cdot 4)}{(1 \cdot 4)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$y_{1} = 2 + \frac{2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Simplificar a fração:

$y_{1} = 2 + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{14}$

3 passos adicionais

$y_{2} = \frac{(8 - 2 i \cdot \sqrt{14})}{4}$

Quebrar a fração:

$y_{2} = \frac{8}{4} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$y_{2} = \frac{(2 \cdot 4)}{(1 \cdot 4)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$y_{2} = 2 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{14}}{4}$

Simplificar a fração:

$y_{2} = 2 + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{14}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−56)

5. Resolver a equação para y

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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