Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(-8^2-4*2*-12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*2*-12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-8*-12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64--96\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64+96\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(160\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(160\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(8\pm sqrt\left(160\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(8\pm sqrt\left(160\right)\right)/4$$

Simplificar $$160$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$160$$ é $$2^5\cdot 5$$

$$x=\left(8\pm 4*sqrt\left(10\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(8+4*sqrt\left(10\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(8-4*sqrt\left(10\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(8+4*sqrt\left(10\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(8+4*sqrt\left(10\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(8+4*3,162\right)/4$$

$$x_1=\left(8+4*3,162\right)/4$$

$$x_1=\left(8+12,649\right)/4$$

$$x_1=\left(8+12,649\right)/4$$

$$x_1=\left(20,649\right)/4$$

$$x_1=20,\frac{649}{4}$$

$$x_1=5,162$$

$$x_2=\left(8-4*sqrt\left(10\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(8-4*3,162\right)/4$$

$$x_2=\left(8-4*3,162\right)/4$$

$$x_2=\left(8-12,649\right)/4$$

$$x_2=\left(8-12,649\right)/4$$

$$x_2=\left(-4,649\right)/4$$

$$x_2=-4,\frac{649}{4}$$

$$x_2=-1,162$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,162, 5,162.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-8x-12<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$