Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(-7^2-4*2*-10\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-4*2*-10\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-8*-10\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49--80\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49+80\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(129\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(129\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(129\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(7\pm sqrt\left(129\right)\right)/4$$

Simplificar $$129$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$129$$ é $$3\cdot 43$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(129\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(7+sqrt\left(129\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(7-sqrt\left(129\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(129\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(129\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(7+11,358\right)/4$$

$$x_1=\left(7+11,358\right)/4$$

$$x_1=\left(18,358\right)/4$$

$$x_1=18,\frac{358}{4}$$

$$x_1=4,589$$

$$x_2=\left(7-sqrt\left(129\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(7-11,358\right)/4$$

$$x_2=\left(7-11,358\right)/4$$

$$x_2=\left(-4,358\right)/4$$

$$x_2=-4,\frac{358}{4}$$

$$x_2=-1,089$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,089, 4,589.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-7x-10\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$