Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(-7^2-4*2*2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-4*2*2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-8*2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-16\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(33\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(33\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(33\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(7\pm sqrt\left(33\right)\right)/4$$

Simplificar $$33$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$33$$ é $$3\cdot 11$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(33\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(7+sqrt\left(33\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(7-sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(7+sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(7+5,745\right)/4$$

$$x_1=\left(7+5,745\right)/4$$

$$x_1=\left(12,745\right)/4$$

$$x_1=12,\frac{745}{4}$$

$$x_1=3,186$$

$$x_2=\left(7-sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(7-sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(7-5,745\right)/4$$

$$x_2=\left(7-5,745\right)/4$$

$$x_2=\left(1,255\right)/4$$

$$x_2=1,\frac{255}{4}$$

$$x_2=0,314$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,314, 3,186.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-7x+2\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$