Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(-6^2-4*2*-7\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-4*2*-7\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-8*-7\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36--56\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36+56\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(92\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(92\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(6\pm sqrt\left(92\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(6\pm sqrt\left(92\right)\right)/4$$

Simplificar $$92$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$92$$ é $$2^2\cdot 23$$

$$x=\left(6\pm 2*sqrt\left(23\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(6+2*sqrt\left(23\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(6-2*sqrt\left(23\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(6+2*sqrt\left(23\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(6+2*sqrt\left(23\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(6+2*4,796\right)/4$$

$$x_1=\left(6+2*4,796\right)/4$$

$$x_1=\left(6+9,592\right)/4$$

$$x_1=\left(6+9,592\right)/4$$

$$x_1=\left(15,592\right)/4$$

$$x_1=15,\frac{592}{4}$$

$$x_1=3,898$$

$$x_2=\left(6-2*sqrt\left(23\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(6-2*4,796\right)/4$$

$$x_2=\left(6-2*4,796\right)/4$$

$$x_2=\left(6-9,592\right)/4$$

$$x_2=\left(6-9,592\right)/4$$

$$x_2=\left(-3,592\right)/4$$

$$x_2=-3,\frac{592}{4}$$

$$x_2=-0,898$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,898, 3,898.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-6x-7<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$