Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(-4^2-4*2*-1\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*2*-1\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-8*-1\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16--8\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16+8\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(4\pm sqrt\left(24\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(4\pm sqrt\left(24\right)\right)/4$$

Simplificar $$24$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$24$$ é $$2^3\cdot 3$$

$$x=\left(4\pm 2*sqrt\left(6\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(4+2*sqrt\left(6\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(4-2*sqrt\left(6\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(6\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(6\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*2,449\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*2,449\right)/4$$

$$x_1=\left(4+4,899\right)/4$$

$$x_1=\left(4+4,899\right)/4$$

$$x_1=\left(8,899\right)/4$$

$$x_1=8,\frac{899}{4}$$

$$x_1=2,225$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(6\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2*2,449\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2*2,449\right)/4$$

$$x_2=\left(4-4,899\right)/4$$

$$x_2=\left(4-4,899\right)/4$$

$$x_2=\left(-0,899\right)/4$$

$$x_2=-0,\frac{899}{4}$$

$$x_2=-0,225$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,225, 2,225.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-4x-1>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$