Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(-4^2-4*2*1\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*2*1\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-8*1\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-8\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(8\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(8\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(4\pm sqrt\left(8\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(4\pm sqrt\left(8\right)\right)/4$$

Simplificar $$8$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$8$$ é $$2^3$$

$$x=\left(4\pm 2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(4+2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(4-2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*1,414\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2*1,414\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2,828\right)/4$$

$$x_1=\left(4+2,828\right)/4$$

$$x_1=\left(6,828\right)/4$$

$$x_1=6,\frac{828}{4}$$

$$x_1=1,707$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2*1,414\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2*1,414\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2,828\right)/4$$

$$x_2=\left(4-2,828\right)/4$$

$$x_2=\left(1,172\right)/4$$

$$x_2=1,\frac{172}{4}$$

$$x_2=0,293$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,293, 1,707.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-4x+1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$