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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 1, 5 < x < 9

-1,5<x<9

Notação de intervalo:

x \in (- 1.5; 9)

x∈(-1.5;9)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $27$ de ambos os lados da desigualdade:

$2 x^{2} - 15 x < 27$

Subtrair $27$ de ambos os lados:

$2 x^{2} - 15 x - 27 < 27 - 27$

Simplificar a expressão

$2 x^{2} - 15 x - 27 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 x^{2} - 15 x - 27 < 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = -15

$c$ = -27

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = - 15$
$c = - 27$

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (- 15^{2} - 4 * 2 * - 27)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 - 4 * 2 * - 27)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 - 8 * - 27)) / (2 * 2)$

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 - - 216)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (225 + 216)) / (2 * 2)$

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (441)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 15 \pm s q r t (441)) / (4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (15 \pm s q r t (441)) / 4$

para obter o resultado:

$x = (15 \pm s q r t (441)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(441)}$

Simplificar $441$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>441</math>:

A fatoração prima de $441$ é $3^{2} \cdot 7^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{441} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{3^{2} \cdot 7^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{3^{2} \cdot 7^{2}} = 3 \cdot 7$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$3 \cdot 7 = 21$

5. Resolver a equação para x

$x = (15 \pm 21) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (15 + 21) / 4$ e $x_{2} = (15 - 21) / 4$

$x_{1} = (15 + 21) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (15 + 21) / 4$

$x_{1} = (36) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{36}{4}$

$x_{1} = 9$

$x_{2} = (15 - 21) / 4$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (15 - 21) / 4$

$x_{2} = (- 6) / 4$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{6}{4}$

$x_{2} = - 1, 5$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,5, 9.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $2 x^{2} - 15 x - 27 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (441)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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