Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(-{11}^2-4*2*2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-4*2*2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-8*2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-16\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(105\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(105\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(105\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(11\pm sqrt\left(105\right)\right)/4$$

Simplificar $$105$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$105$$ é $$3\cdot 5\cdot 7$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(105\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(11+sqrt\left(105\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(11-sqrt\left(105\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(105\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(105\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(11+10,247\right)/4$$

$$x_1=\left(11+10,247\right)/4$$

$$x_1=\left(21,247\right)/4$$

$$x_1=21,\frac{247}{4}$$

$$x_1=5,312$$

$$x_2=\left(11-sqrt\left(105\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(11-sqrt\left(105\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(11-10,247\right)/4$$

$$x_2=\left(11-10,247\right)/4$$

$$x_2=\left(0,753\right)/4$$

$$x_2=0,\frac{753}{4}$$

$$x_2=0,188$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,188, 5,312.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-11x+2>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$