Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$2x^2-11x-23>0$$, são:

$$a$$ = 2

$$b$$ = -11

$$c$$ = -23

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(-{11}^2-4*2*-23\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-4*2*-23\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-8*-23\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121--184\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121+184\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(305\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(305\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(305\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(11\pm sqrt\left(305\right)\right)/4$$

Simplificar $$305$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$305$$ é $$5\cdot 61$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(305\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(11+sqrt\left(305\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(11-sqrt\left(305\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(305\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(305\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(11+17,464\right)/4$$

$$x_1=\left(11+17,464\right)/4$$

$$x_1=\left(28,464\right)/4$$

$$x_1=28,\frac{464}{4}$$

$$x_1=7,116$$

$$x_2=\left(11-sqrt\left(305\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(11-17,464\right)/4$$

$$x_2=\left(11-17,464\right)/4$$

$$x_2=\left(-6,464\right)/4$$

$$x_2=-6,\frac{464}{4}$$

$$x_2=-1,616$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,616, 7,116.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-11x-23>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$