Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(-{10}^2-4*2*10\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*2*10\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-8*10\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-80\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(20\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-10\pm sqrt\left(20\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(10\pm sqrt\left(20\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(10\pm sqrt\left(20\right)\right)/4$$

Simplificar $$20$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$20$$ é $$2^2\cdot 5$$

$$x=\left(10\pm 2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(10+2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(10-2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(10+2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(10+2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(10+2*2,236\right)/4$$

$$x_1=\left(10+2*2,236\right)/4$$

$$x_1=\left(10+4,472\right)/4$$

$$x_1=\left(10+4,472\right)/4$$

$$x_1=\left(14,472\right)/4$$

$$x_1=14,\frac{472}{4}$$

$$x_1=3,618$$

$$x_2=\left(10-2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(10-2*sqrt\left(5\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(10-2*2,236\right)/4$$

$$x_2=\left(10-2*2,236\right)/4$$

$$x_2=\left(10-4,472\right)/4$$

$$x_2=\left(10-4,472\right)/4$$

$$x_2=\left(5,528\right)/4$$

$$x_2=5,\frac{528}{4}$$

$$x_2=1,382$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1,382, 3,618.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-10x+10<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$