Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(6^2-4*2*-2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-4*2*-2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-8*-2\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36--16\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36+16\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(52\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(52\right)\right)/\left(4\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(52\right)\right)/4$$

Simplificar $$52$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$52$$ é $$2^2\cdot 13$$

$$x=\left(-6\pm 2*sqrt\left(13\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(13\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(-6-2*sqrt\left(13\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(13\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(13\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-6+2*3,606\right)/4$$

$$x_1=\left(-6+2*3,606\right)/4$$

$$x_1=\left(-6+7,211\right)/4$$

$$x_1=\left(-6+7,211\right)/4$$

$$x_1=\left(1,211\right)/4$$

$$x_1=1,\frac{211}{4}$$

$$x_1=0,303$$

$$x_2=\left(-6-2*sqrt\left(13\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(-6-2*3,606\right)/4$$

$$x_2=\left(-6-2*3,606\right)/4$$

$$x_2=\left(-6-7,211\right)/4$$

$$x_2=\left(-6-7,211\right)/4$$

$$x_2=\left(-13,211\right)/4$$

$$x_2=-13,\frac{211}{4}$$

$$x_2=-3,303$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -3,303, 0,303.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2+6x-2<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$