Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left({25}^2-4*2*-25\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625-4*2*-25\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625-8*-25\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625--200\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(625+200\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(825\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(825\right)\right)/\left(4\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-25\pm sqrt\left(825\right)\right)/4$$

Simplificar $$825$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$825$$ é $$3\cdot 5^2\cdot 11$$

$$x=\left(-25\pm 5*sqrt\left(33\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-25+5*sqrt\left(33\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(-25-5*sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-25+5*sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-25+5*sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-25+5*5,745\right)/4$$

$$x_1=\left(-25+5*5,745\right)/4$$

$$x_1=\left(-25+28,723\right)/4$$

$$x_1=\left(-25+28,723\right)/4$$

$$x_1=\left(3,723\right)/4$$

$$x_1=3,\frac{723}{4}$$

$$x_1=0,931$$

$$x_2=\left(-25-5*sqrt\left(33\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(-25-5*5,745\right)/4$$

$$x_2=\left(-25-5*5,745\right)/4$$

$$x_2=\left(-25-28,723\right)/4$$

$$x_2=\left(-25-28,723\right)/4$$

$$x_2=\left(-53,723\right)/4$$

$$x_2=-53,\frac{723}{4}$$

$$x_2=-13,431$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -13,431, 0,931.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2+25x-25<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$