Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*2*-18\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*2*-18\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-8*-18\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--144\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144+144\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/\left(4\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(288\right)\right)/4$$

Simplificar $$288$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$288$$ é $$2^5\cdot 3^2$$

$$x=\left(-12\pm 12*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-12+12*sqrt\left(2\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(-12-12*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-12+12*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-12+12*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-12+12*1,414\right)/4$$

$$x_1=\left(-12+12*1,414\right)/4$$

$$x_1=\left(-12+16,971\right)/4$$

$$x_1=\left(-12+16,971\right)/4$$

$$x_1=\left(4,971\right)/4$$

$$x_1=4,\frac{971}{4}$$

$$x_1=1,243$$

$$x_2=\left(-12-12*sqrt\left(2\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(-12-12*1,414\right)/4$$

$$x_2=\left(-12-12*1,414\right)/4$$

$$x_2=\left(-12-16,971\right)/4$$

$$x_2=\left(-12-16,971\right)/4$$

$$x_2=\left(-28,971\right)/4$$

$$x_2=-28,\frac{971}{4}$$

$$x_2=-7,243$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -7,243, 1,243.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2+12x-18>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$