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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

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1

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abc

a

b

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o

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q

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u

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w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

x < - 12 or x > 2

x<-12 or x>2

Notação de intervalo:

x \in (- \infty, - 12) ⋃ (2, \infty)

x∈(-∞,-12)⋃(2,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$2 x^{2} + 12 x - 11 > x^{2} + 2 x + 13$

Subtrair 11 de ambos os lados:

$(2 x^{2} + 12 x - 11) - 2 x > (x^{2} + 2 x + 13) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} + (12 x - 2 x) - 11 > (x^{2} + 2 x + 13) - 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 10 x - 11 > (x^{2} + 2 x + 13) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} + 10 x - 11 > x^{2} + (2 x - 2 x) + 13$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 10 x - 11 > x^{2} + 13$

Subtrair 11 de ambos os lados:

$(2 x^{2} + 10 x - 11) - x^{2} > (x^{2} + 13) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(2 x^{2} - x^{2}) + 10 x - 11 > (x^{2} + 13) - x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 10 x - 11 > (x^{2} + 13) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$x^{2} + 10 x - 11 > (x^{2} - x^{2}) + 13$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 10 x - 11 > 13$

Adicionar $11$ em ambos os lados:

$(x^{2} + 10 x - 11) + 11 > 13 + 11$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 10 x > 13 + 11$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 10 x > 24$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Subtrair $24$ de ambos os lados da desigualdade:

$x^{2} + 10 x > 24$

Subtrair $24$ de ambos os lados:

$x^{2} + 10 x - 24 > 24 - 24$

Simplificar a expressão

$x^{2} + 10 x - 24 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $x^{2} + 10 x - 24 > 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 10

$c$ = -24

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 10$
$c = - 24$

$x = (- 10 \pm s q r t (10^{2} - 4 * 1 * - 24)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 4 * 1 * - 24)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 4 * - 24)) / (2 * 1)$

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - - 96)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 10 \pm s q r t (100 + 96)) / (2 * 1)$

$x = (- 10 \pm s q r t (196)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (196)) / (2)$

para obter o resultado:

$x = (- 10 \pm s q r t (196)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(196)}$

Simplificar $196$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>196</math>:

A fatoração prima de $196$ é $2^{2} \cdot 7^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{196} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}} = 2 \cdot 7$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 7 = 14$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 10 \pm 14) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 10 + 14) / 2$ e $x_{2} = (- 10 - 14) / 2$

$x_{1} = (- 10 + 14) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 10 + 14) / 2$

$x_{1} = (4) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{4}{2}$

$x_{1} = 2$

$x_{2} = (- 10 - 14) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 10 - 14) / 2$

$x_{2} = (- 24) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{24}{2}$

$x_{2} = - 12$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -12, 2.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $x^{2} + 10 x - 24 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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