Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left({11}^2-4*2*-5\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(121-4*2*-5\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(121-8*-5\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(121--40\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(121+40\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(161\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(161\right)\right)/\left(4\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(161\right)\right)/4$$

Simplificar $$161$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$161$$ é $$7\cdot 23$$

$$x=\left(-11\pm sqrt\left(161\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-11+sqrt\left(161\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(-11-sqrt\left(161\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-11+sqrt\left(161\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-11+sqrt\left(161\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(-11+12,689\right)/4$$

$$x_1=\left(-11+12,689\right)/4$$

$$x_1=\left(1,689\right)/4$$

$$x_1=1,\frac{689}{4}$$

$$x_1=0,422$$

$$x_2=\left(-11-sqrt\left(161\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(-11-12,689\right)/4$$

$$x_2=\left(-11-12,689\right)/4$$

$$x_2=\left(-23,689\right)/4$$

$$x_2=-23,\frac{689}{4}$$

$$x_2=-5,922$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -5,922, 0,422.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2+11x-5\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$