Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-11\pm sqrt\left({11}^2-4*2*12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$t=\left(-11\pm sqrt\left(121-4*2*12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$t=\left(-11\pm sqrt\left(121-8*12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$t=\left(-11\pm sqrt\left(121-96\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$t=\left(-11\pm sqrt\left(25\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$t=\left(-11\pm sqrt\left(25\right)\right)/\left(4\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-11\pm sqrt\left(25\right)\right)/4$$

Simplificar $$25$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$25$$ é $$5^2$$

$$t=\left(-11\pm 5\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-11+5\right)/4$$ e $$t_2=\left(-11-5\right)/4$$

$$t_1=\left(-11+5\right)/4$$

$$t_1=\left(-11+5\right)/4$$

$$t_1=\left(-6\right)/4$$

$$t_1=-\frac{6}{4}$$

$$t_1=-1,5$$

$$t_2=\left(-11-5\right)/4$$

$$t_2=\left(-11-5\right)/4$$

$$t_2=\left(-16\right)/4$$

$$t_2=-\frac{16}{4}$$

$$t_2=-4$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4, -1,5.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2t^2+11t+12<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$