Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{k}^2+bk+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$k=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(-{11}^2-4*2*-12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-4*2*-12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-8*-12\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121--96\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121+96\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(217\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$k=\left(-1*-11\pm sqrt\left(217\right)\right)/\left(4\right)$$

$$k=\left(11\pm sqrt\left(217\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$k=\left(11\pm sqrt\left(217\right)\right)/4$$

Simplificar $$217$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$217$$ é $$7\cdot 31$$

$$k=\left(11\pm sqrt\left(217\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$k_1=\left(11+sqrt\left(217\right)\right)/4$$ e $$k_2=\left(11-sqrt\left(217\right)\right)/4$$

$$k_1=\left(11+sqrt\left(217\right)\right)/4$$

$$k_1=\left(11+sqrt\left(217\right)\right)/4$$

$$k_1=\left(11+14,731\right)/4$$

$$k_1=\left(11+14,731\right)/4$$

$$k_1=\left(25,731\right)/4$$

$$k_1=25,\frac{731}{4}$$

$$k_1=6,433$$

$$k_2=\left(11-sqrt\left(217\right)\right)/4$$

$$k_2=\left(11-14,731\right)/4$$

$$k_2=\left(11-14,731\right)/4$$

$$k_2=\left(-3,731\right)/4$$

$$k_2=-3,\frac{731}{4}$$

$$k_2=-0,933$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,933, 6,433.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2k^2-11k-12<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$