Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{d}^2+bd+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$d=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(5^2-4*2*-7\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(25-4*2*-7\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(25-8*-7\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(25--56\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(25+56\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(81\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(81\right)\right)/\left(4\right)$$

para obter o resultado:

$$d=\left(-5\pm sqrt\left(81\right)\right)/4$$

Simplificar $$81$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$81$$ é $$3^4$$

$$d=\left(-5\pm 9\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$d_1=\left(-5+9\right)/4$$ e $$d_2=\left(-5-9\right)/4$$

$$d_1=\left(-5+9\right)/4$$

$$d_1=\left(-5+9\right)/4$$

$$d_1=\left(4\right)/4$$

$$d_1=\frac{4}{4}$$

$$d_1=1$$

$$d_2=\left(-5-9\right)/4$$

$$d_2=\left(-5-9\right)/4$$

$$d_2=\left(-14\right)/4$$

$$d_2=-\frac{14}{4}$$

$$d_2=-3,5$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -3,5, 1.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2d^2+5d-7\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$