Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left({10}^2-4*25*-24\right)\right)/\left(2*25\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-4*25*-24\right)\right)/\left(2*25\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-100*-24\right)\right)/\left(2*25\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100--2400\right)\right)/\left(2*25\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100+2400\right)\right)/\left(2*25\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(2500\right)\right)/\left(2*25\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(2500\right)\right)/\left(50\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(2500\right)\right)/50$$

Simplificar $$2500$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$2500$$ é $$2^2\cdot 5^4$$

$$x=\left(-10\pm 50\right)/50$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-10+50\right)/50$$ e $$x_2=\left(-10-50\right)/50$$

$$x_1=\left(-10+50\right)/50$$

$$x_1=\left(-10+50\right)/50$$

$$x_1=\left(40\right)/50$$

$$x_1=\frac{40}{50}$$

$$x_1=0,8$$

$$x_2=\left(-10-50\right)/50$$

$$x_2=\left(-10-50\right)/50$$

$$x_2=\left(-60\right)/50$$

$$x_2=-\frac{60}{50}$$

$$x_2=-1,2$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,2, 0,8.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=25), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$25x^2+10x-24\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$