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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 1, 6 < k < 1, 6

-1,6<k<1,6

Notação de intervalo:

k \in (- 1.6; 1.6)

k∈(-1.6;1.6)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a k^{2} + b k + c < 0$

Subtrair $64$ de ambos os lados da desigualdade:

$25 k^{2} < 64$

Subtrair $64$ de ambos os lados:

$25 k^{2} - 64 < 64 - 64$

Simplificar a expressão

$25 k^{2} - 64 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $25 k^{2} + 0 k - 64 < 0$ , são:

$a$ = 25

$b$ = 0

$c$ = -64

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 25$
$b = 0$
$c = - 64$

$k = (- 0 \pm s q r t (0^{2} - 4 * 25 * - 64)) / (2 * 25)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * 25 * - 64)) / (2 * 25)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 0 \pm s q r t (0 - 100 * - 64)) / (2 * 25)$

$k = (- 0 \pm s q r t (0 - - 6400)) / (2 * 25)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 0 \pm s q r t (0 + 6400)) / (2 * 25)$

$k = (- 0 \pm s q r t (6400)) / (2 * 25)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 0 \pm s q r t (6400)) / (50)$

para obter o resultado:

$k = (- 0 \pm s q r t (6400)) / 50$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(6400)}$

Simplificar $6400$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>6400</math>:

A fatoração prima de $6400$ é $2^{8} \cdot 5^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{6400} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 2 \cdot 5$

$8 \cdot 2 \cdot 5 = 16 \cdot 5$

$16 \cdot 5 = 80$

5. Resolver a equação para k

$k = (- 0 \pm 80) / 50$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (- 0 + 80) / 50$ e $k_{2} = (- 0 - 80) / 50$

$k_{1} = (- 0 + 80) / 50$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{1} = (- 0 + 80) / 50$

$k_{1} = (80) / 50$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = \frac{80}{50}$

$k_{1} = 1, 6$

$k_{2} = (- 0 - 80) / 50$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{2} = (- 0 - 80) / 50$

$k_{2} = (- 80) / 50$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = - \frac{80}{50}$

$k_{2} = - 1, 6$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,6, 1,6.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =25), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $25 k^{2} + 0 k - 64 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (6400)

5. Resolver a equação para k

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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