Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$2x^2-18x+23>0$$, são:

$$a$$ = 2

$$b$$ = -18

$$c$$ = 23

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(-{18}^2-4*2*23\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(324-4*2*23\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(324-8*23\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(324-184\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(140\right)\right)/\left(2*2\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(140\right)\right)/\left(4\right)$$

$$x=\left(18\pm sqrt\left(140\right)\right)/4$$

para obter o resultado:

$$x=\left(18\pm sqrt\left(140\right)\right)/4$$

Simplificar $$140$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$140$$ é $$2^2\cdot 5\cdot 7$$

$$x=\left(18\pm 2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(18+2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$ e $$x_2=\left(18-2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(18+2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(18+2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$

$$x_1=\left(18+2*5,916\right)/4$$

$$x_1=\left(18+2*5,916\right)/4$$

$$x_1=\left(18+11,832\right)/4$$

$$x_1=\left(18+11,832\right)/4$$

$$x_1=\left(29,832\right)/4$$

$$x_1=29,\frac{832}{4}$$

$$x_1=7,458$$

$$x_2=\left(18-2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(18-2*sqrt\left(35\right)\right)/4$$

$$x_2=\left(18-2*5,916\right)/4$$

$$x_2=\left(18-2*5,916\right)/4$$

$$x_2=\left(18-11,832\right)/4$$

$$x_2=\left(18-11,832\right)/4$$

$$x_2=\left(6,168\right)/4$$

$$x_2=6,\frac{168}{4}$$

$$x_2=1,542$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1,542, 7,458.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=2), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$2x^2-18x+23>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$