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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = - i \cdot \sqrt{5}, x_{2} = i \cdot \sqrt{5}

x_{1}=-i\cdot\sqrt{5} , x_{2}=i\cdot\sqrt{5}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $20$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 4 x^{2} < 20$

Subtrair $20$ de ambos os lados:

$- 4 x^{2} - 20 < 20 - 20$

Simplificar a expressão

$- 4 x^{2} - 20 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 4 x^{2} + 0 x - 20 < 0$ , são:

$a$ = -4

$b$ = 0

$c$ = -20

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = 0$
$c = - 20$

$x = (- 0 \pm s q r t (0^{2} - 4 * - 4 * - 20)) / (2 * - 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * - 4 * - 20)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 0 \pm s q r t (0 - - 16 * - 20)) / (2 * - 4)$

$x = (- 0 \pm s q r t (0 - 320)) / (2 * - 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 0 \pm s q r t (- 320)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 0 \pm s q r t (- 320)) / (- 8)$

para obter o resultado:

$x = (- 0 \pm s q r t (- 320)) / (- 8)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 320)}$

Simplificar $- 320$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 320$ é $8 i \cdot \sqrt{5}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 320} = \sqrt{(- 1) \cdot 320}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 320} = i \sqrt{320}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{320} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5} = 4 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5}$

$4 \cdot 2 i \cdot \sqrt{5} = 8 i \cdot \sqrt{5}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 0 \pm 8 i * s q r t (5)) / (- 8)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 0 + 8 i * s q r t (5)) / (- 8)$ e $x_{2} = (- 0 - 8 i * s q r t (5)) / (- 8)$

2 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(0 + 8 i \cdot \sqrt{5})}{- 8}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x_{1} = \frac{8 i \cdot \sqrt{5}}{- 8}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{1} = \frac{- 8 i \cdot \sqrt{5}}{8}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = - i \cdot \sqrt{5}$

2 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(0 - 8 i \cdot \sqrt{5})}{- 8}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x_{2} = \frac{- 8 i \cdot \sqrt{5}}{- 8}$

Cancelar os negativos:

$x_{2} = \frac{8 i \cdot \sqrt{5}}{8}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = i \cdot \sqrt{5}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−320)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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