Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(-5^2-4*-12*2\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-4*-12*2\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25--48*2\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25--96\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25+96\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(121\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-1*-5\pm sqrt\left(121\right)\right)/\left(-24\right)$$

$$t=\left(5\pm sqrt\left(121\right)\right)/\left(-24\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(5\pm sqrt\left(121\right)\right)/\left(-24\right)$$

Simplificar $$121$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$121$$ é $${11}^2$$

$$t=\left(5\pm 11\right)/\left(-24\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(5+11\right)/\left(-24\right)$$ e $$t_2=\left(5-11\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(5+11\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(5+11\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(16\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\frac{16}{-}24$$

$$t_1=-0,667$$

$$t_2=\left(5-11\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(5-11\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(-6\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=-\frac{6}{-}24$$

$$t_2=0,25$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,667, 0,25.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-12), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-12t^2-5t+2\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$